De inmiddels 23-jarige Baumgartl werd geboren in Böblingen, een stadje in het zuiden van Duitsland. De Duitser speelde tot 2010 bij GSV Maichingen, maar vertrok daar om aan de slag te gaan in de jeugdopleiding van SSV Reutlingen 05. Zijn periode in Reutlingen bleef echter beperkt tot een seizoen, want in de zomer van 2011 stapte hij over naar VfB Stuttgart. Daar speelde Baumgartl nog enkele jaren in diverse jeugdelftallen, voordat hij zijn debuut maakte namens de beloften van Die Schwaben.
Tijdens seizoen 2014/15 debuteerde de centrumverdediger in het eerste elftal van VfB Stuttgart en sindsdien speelde hij 121 officiële wedstrijden voor de hoofdmacht van de club. In 2016 degradeerde Baumgartl met zijn ploeg uit de Bundesliga, maar na een seizoen in de 2. Bundesliga keerde de club uit Baden-Württemberg weer terug op het hoogste niveau. Tijdens seizoen 2019/20 zal VfB Stuttgart echter weer actief zijn op het tweede podium van Duitsland. Baumgartl speelde in totaal negentien duels, maar wist niet te voorkomen dat de club afdaalde.
De loopbaan van de talentvolle Duitser blijft echter niet beperkt tot zijn wedstrijden in Stuttgart. Hij is namelijk een bekend gezicht in de verschillende nationale jeugdelftallen. Zo speelde hij tussen 2011 en 2014 voor Duitsland Onder 15, Duitsland Onder 18 en Duitsland Onder 19. Inmiddels is hij een vaste waarde bij Jong Duitsland, waarmee hij eerder deze zomer op het EK in Italië en San Marino actief was. Duitsland haalde uiteindelijk de finale, maar in Udine bleken de leeftijdsgenoten van Spanje met 2-1 te sterk.
Het lijkt er echter op dat Baumgartl komend seizoen toch op het hoogste niveau actief zal zijn. PSV wil de verdediger graag overnemen van de Duitse degradant, maar dan zullen De Rood-Witten wel met een flinke zak geld aan moeten kloppen bij de Mercedes-Benz Arena. Baumgartl ligt nog tot de zomer van 2022 vast, maar VfB Stuttgart is volgens het Duitse medium BILD wel van plan om mee te werken. De jeugdinternational is een van de grootverdieners en daarnaast wil trainer Tim Walter met een nieuwe verdediging aan het seizoen beginnen. PSV is naar verluidt bereid acht tot tien miljoen euro te betalen.
