De onbekendheid in Nederland heeft vooral te maken met het feit dat Van den Heuvel al op jonge leeftijd naar het buitenland vertrok. Op 11-jarige leeftijd werd hij uitgenodigd voor een proeftraining bij ADO Den Haag, waar hij direct indruk maakte. Via die weg kwam hij op de radar van Ajax terecht. In Amsterdam groeide hij uit tot vaste doelman van Ajax en Oranje Onder 17. Toch besloot hij Ajax te verlaten, omdat hij in het contractvoorstel te weinig waardering voelde. De jonge doelman koos daarop voor een overstap naar het Engelse Leeds United.
Bij Leeds mocht Van den Heuvel als vierde doelman meetrainen en was hij eerste keeper van het tweede elftal. Door verschillende omstandigheden, waaronder een zwaar auto-ongeluk, kwam hij echter minder vaak in actie dan gehoopt. In 2022 raakte de auto waarin Van den Heuvel zat van de weg en botste deze recht op een verkeerspaal. In een interview met het Algemeen Dagblad blikte hij terug op dat moment: “Ik zag de paal op me afkomen en dacht: is dit dan mijn einde? Ik vreesde voor mijn leven. Meteen daarna werd het zwart.”
De gevolgen waren ernstig. Zijn nek was op twee plekken gebroken, één wervel zelfs doormidden, en zijn kaak hing los. Een maandenlange revalidatie volgde. Van den Heuvel gaf later aan dat hij zich nu fitter dan ooit voelt en dat het ongeluk hem vooral mentaal sterker heeft gemaakt.
Ondanks dat hij indruk maakte bij Leeds, vertrok Van den Heuvel transfervrij uit Engeland. In de zomer van 2024 tekende hij bij Club Brugge, waar hij aanvankelijk begon als derde doelman. Vorig seizoen speelde hij zeven wedstrijden voor Club NXT, het beloftenteam van de club dat uitkomt in de Challenger Pro League.
Ook dit seizoen begon de Nederlander als derde keeper, maar eind oktober maakte hij zijn debuut in de Croky Cup. Door blessureleed bij eerste doelman Nordin Deckers schoof Van den Heuvel een plek op in de pikorde achter routinier Simon Mignolet. In de competitiewedstrijd tegen Royal Antwerp raakte ook Mignolet geblesseerd, waardoor Van den Heuvel zijn competitiedebuut maakte voor Club Brugge. Dat deed hij direct met een hoogtepunt: hij keerde een strafschop. Van den Heuvel stond ook in de twee daaropvolgende competitiewedstrijden onder de lat. Tussen die duels door maakte hij bovendien zijn debuut in de Champions League. In België kwam Arsenal op bezoek. De Nederlander moest drie keer vissen.
Bij afwezigheid van de andere doelmannen krijgt Dani van den Heuvel nu de kans om zich te laten zien op het hoogste niveau. Na alles wat hij heeft meegemaakt, voelt dat als een beloning op zich.
