Barcola (22) speelde in de jeugdopleiding van Olympique Lyon, waar hij uiteindelijk doorstroomde naar het eerste elftal. Peter Bosz liet hem in de tweede helft van het seizoen 2021-2022 debuteren in de basis. Het jaar daarna groeide de aanvaller uit tot basisspeler. PSG zat niet te slapen en was op de achtergrond al bezig met het zoeken van een opvolger van Kylian Mbappé. Na slechts één seizoen als basisspeler werd Barcola in de zomer van 2023 alvast naar de hoofdstad gehaald. PSG legde zo'n 45 miljoen euro voor hem neer.
In zijn eerste seizoen mocht hij achttien keer in de basis beginnen in de Franse competitie en debuteerde hij in de Champions League. Hoewel Barcola ook in het bezit is van een Togolees paspoort, vertegenwoordigt hij al sinds de jeugd Frankrijk. Zijn broer Malcolm speelt wel voor Togo. Bradley debuteerde afgelopen juni voor het Franse elftal en mocht van Didier Deschamps mee naar het EK.
Sinds het vertrek van Mbappé is Barcola helemaal los bij PSG. De buitenspeler scoorde zes keer in zes wedstrijden en is daarmee topscorer van de Ligue 1. Ook bij Frankrijk is hij gestegen in de orde van Deschamps. In de Nations League mocht hij in de basis beginnen tegen Italië en scoorde hij al na dertien seconden: het snelste doelpunt in de historie van de Franse nationale ploeg.
