Carrière
Via de jeugdopleiding van Slovácko in Tsjechië maakte Kovar de overstap naar de jeugdopleiding van Manchester United. Daar werd hij uitgeleend aan zowel Swindon Town als Burton Albion. De doelman kwam aan de nodige speelminuten, maar kreeg alsnog geen kans onder de lat bij Manchester United. De club besloot hem nogmaals te verhuren, ditmaal aan Sparta Praag. Hier stond Kovar 32 keer onder de lat, waarin hij elf keer de nul hield. Hij incasseerde 34 tegentreffers. In dat seizoen wist de keeper landskampioen van Tsjechië te worden.
Na zijn verhuurperiode besloot Bayer Leverkusen de Tsjech te kopen. Het ging om een transferbedrag van vijf miljoen euro. In twee seizoenen tijd keepte de doelman 32 wedstrijden voor de Duitse club. Afgelopen seizoen kwam hij vijftien keer in actie, mede door blessureleed van de eerste doelman bij Bayer Leverkusen. In deze wedstrijden hield hij negen keer de nul en kreeg hij dertien tegentreffers. Van de vijftien wedstrijden waren er zes in de Champions League. Hij speelde onder andere de heenwedstrijd in de verloren achtste finale tegen Bayern München.
Kovar wist bij Bayer Leverkusen drie prijzen te winnen. In het seizoen 2023/24 won de doelman zowel de beker als de Bundesliga. Kovar speelde zelfs alle wedstrijden in het bekertoernooi, op de finale na. Afgelopen seizoen veroverde de Tsjech ook de Duitse Supercup. Hij maakte in deze wedstrijd echter geen speelminuten.
Interlandcarrière
De doelman speelde wedstrijden voor verschillende jeugdelftallen van Tsjechië. Op 26 maart 2024 maakte Kovar zijn debuut voor het nationale elftal. Tsjechië won destijds met 2-1 in een oefeninterland tegen Armenië. Op dit moment staat het aantal optredens van Kovar voor Tsjechië op dertien. Tijdens het EK van 2024 kwam hij eenmaal in actie: 35 minuten in de groepsfasewedstrijd tegen Turkije. Tsjechië verloor echter, waardoor het werd uitgeschakeld.
